自由度が1のいわゆる1次元運動について議論する。ラグランジアンの一般的な形は
であり、デカルト座標系では、
である。エネルギー保存則
から
となり、これを変数分離で積分して
となる。運動エネルギーは正の量であるため、運動はの領域内だけで行われる。
ポテンシャル・エネルギーと全エネルギーが等しくなる点を転回点といい、運動がその2点で境界づけられているなら、有界であるという。
一次元の有界な運動は振動であり、振動の周期は
で与えられる。