§17 １次元の自由振動

自由度が１の系における微小振動を扱う。

系が安定なつり合いの位置にある時、ポテンシャルエネルギーU(q)は極小値をとる。その位置からずれると、もとへ戻そうとする力-dU/dqが生ずる。つり合いの位置の一般化座標を $q_{0}$ とすると、つり合いの位置からのずれが小さいとき、

$U(q)-U(q_{0})\simeq U'(q_{0})(q-q_{0})+\frac{U''(q_{0})}{2}(q-q_{0})^{2}\\ =\frac{k}{2}(q-q_{0})^{2}$

となる。ここで、

$x=q-q_{0}$

とおく（デカルト座標とまぎらわしい）。そうすると（Ti○○氏風、ってまずければ削除しておいて）、

$U(x)=\frac{k}{2}x^{2}$

本書はややこしい気がするので、以下本当のデカルト座標限定で議論する。

一次元の微小振動を行う振動子のラグランジアンは

$L=\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{k}{2}x^{2}$

となり、オイラーラグランジュ方程式に代入すると、

$\frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot{x}})-\frac{dL}{dx} =m\ddot{x}+kx\\ =\dd x+\omega^{2}x\\ =0$

となる。ここで、

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

とおいた。これは、角振動数と呼ばれる。

上の微分方程式の一般解は

$x=c_{1}\cos\omega t+c_{2}\sin\omega t\\ =a\cos(\omega t+\alpha)$

である。ここで、三角関数の加法定理より、

$a=\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$ 、 $\tan\alpha=-\frac{c_{2}}{c_{1}}$

である。

ここで、振幅と位相の説明ってなくても分かるよね？というわけで、系のエネルギーは

$E=\frac{m}{2}(\dot{x}^{2}+\omega^{2}x^{2})\\ =\frac{1}{2}m\omega^{2}a^{2}$

となり、エネルギーは振幅の２乗に比例する。

振動は三角関数でなく、指数関数を使って書くこともできる。その方が、演算の際に楽になるのだ。以下では、線形の計算しか行わないので、Reを省略して、後で実部をとる記述を採用する。

最終更新：2008年10月02日 20:58