§4 自由な質点のラグランジアン

一つの質点の自由な運動を記述するラグランジアンを決める。

空間と時間の一様性により、ラグランジアンは位置ベクトルにも時間にも陽には依存しない。空間の等方性により速度ベクトルの方向にも依存しない。ゆえにラグランジアンは速度の大きさだけの関数となる。

$L=L(v^2)$ （なぜ２乗なのかは調査中。ニュートン力学との整合性か？）

別の慣性系においてのラグランジアンとの差は座標と時間の完全導関数でなければならない（§2 最小作用の原理参照）。

この条件を満たすのは、

$L=\frac{m}{2}v^2$

のときだけである。（要証明）

ここでニュートン力学との整合性のため、 $v^2$ の比例定数に質量 $m$ を導入した。

相互作用のない質点系では加法性のために

$L=\sum_{a}\frac{m_{a}}{2}v_{a}^{2}$

となる。

最小作用の原理より、

$S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{m}{2}v^{2}dt$

は最小値を持つはずだが、もし質量が負だと、最小値を取ることができない。ゆえに質量は正である。

うーん、なぜ $v^2$ なんでしょう？

たしかに、 $L = av^4$ とかじゃうまくいかないですけど。。。

最終更新：2008年10月07日 00:33