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自由度が１のいわゆる１次元運動について議論する。ラグランジアンの一般的な形は

<math>L=\frac{1}{2}a(q)\dot{q}^{2}-U(q)</math>

であり、デカルト座標系では、

<math>L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-U(x)</math>

である。エネルギー保存則

<math>\frac{m}{2}\dot{x}^{2}+U(x)=E</math>

から

<math>\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{2}{m}(E-U(x))}</math>

となり、これを変数分離で積分して

<math>t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}+C</math>

となる。運動エネルギーは正の量であるため、運動は<math>U(x)<E</math>の領域内だけで行われる。

ポテンシャル・エネルギーと全エネルギーが等しくなる点を転回点といい、運動がその２点で境界づけられているなら、有界であるという。

一次元の有界な運動は振動であり、振動の周期は

<math>T(E)=\sqrt(2m)\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}</math>

で与えられる。

自由度が１のいわゆる１次元運動について議論する。ラグランジアンの一般的な形は

<math>L=\frac{1}{2}a(q)\dot{q}^{2}-U(q)</math>

であり、デカルト座標系では、

<math>L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-U(x)</math>

である。エネルギー保存則

<math>\frac{m}{2}\dot{x}^{2}+U(x)=E</math>

から

<math>\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{2}{m}(E-U(x))}</math>

となり、これを変数分離で積分して

<math>t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}+C</math>

となる。運動エネルギーは正の量であるため、運動は<math>U(x)<E</math>の領域内だけで行われる。

ポテンシャル・エネルギーと全エネルギーが等しくなる点を転回点といい、運動がその２点で境界づけられているなら、有界であるという。

一次元の有界な運動は振動であり、振動の周期は

<math>T(E)=\sqrt{2m}\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}</math>

で与えられる。