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これまで扱ってきた運動には媒質の影響は無視されてきた。しかし現実には、媒質内で物体の速度を減少させるような抵抗が物体に及ぼされる。運動する物体のエネルギーは散逸してしまう。一般的には運動する物体の加速度は速度と座標だけでは記述することはできないのだ。
もし媒質内の散逸過程を特徴付ける振動数に比べてずっと小さい振動なら、
速度だけに依存する摩擦力が働くとみなして記述することができる。
摩擦力を速度のベキ展開したとき、２次以上の項を無視すると（例えばニュートン流体のようなものか）、摩擦力は
<math>f=-\alpha \dot{x}</math>
と書ける。<math>\alpha</math>は正の定数である。運動方程式は
<math>m\ddot{x}=-kx-\alpha\dot{x}</math>
となる。ここで、
<math>\frac{k}{m}=\omega_{0}^{2}, \frac{\alpha}{m}=2\lambda</math>
とおくと、
<math>\ddot{x}+2\lambda\dot{x}+\omega_{0}^{2}=0</math>
となる。<math>x=e^{rt}</math>とおくと、
<math>r^{2}+2\lambda r+\omega_{0}^{2}=0</math>
となり、運動方程式の一般解は
<math>x= c_{1} e^{-\lambda + \sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}}+c_{2} e^{-\lambda - \sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}}</math>
である。
<math>\lambda<\omega_{0}</math>のとき、rの二つの値は複素共役なので
<math>x=Re\{A\exp{-\lambda t-it\sqrt{\omega{2}_{0}-\lambda^{2}}}\}</math>
と表わされる。<math>A</math>は任意の複素定数である。これは
<math>x=ae^{-\lambda t}\cos(\omega t+\alpha),{ }\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}}</math>
とも書ける。これはいわゆる減衰振動である。
<math>\lambda\ll\omega_{0}</math>ならば、１周期後も振幅はほとんど変化しない。この場合、系の平均エネルギーの減衰は
<math>\bar{E}=E_{0}e^{-2\lambda t}</math>
で減少する。
<math>\lambda > \omega_{0}</math>のときrはどちらも負の実数である。この時の解は
<math>x=c_{1}e^{-(\lambda-\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}})t}+c_{2}e^{-(\lambda+\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}})t}</math>
となる。これは振動せずにつりあいの位置へ漸近的に近づくことを示している。このような運動を非周期的減衰という。
<math>\lambda=\omega_{0}</math>のとき、
<math>x=(c_{1}+c_{2}t)e^{-\lambda t}</math>となる。これは非周期的減衰の特別な場合である。
他自由度の系では一般化された摩擦力は
<math>f_{if}=-\sum_{k}\alpha_{ik}\dot{x}_{k}</math>
統計力学の方法を使うと
<math>\alpha_{ik}=\alpha{ki}</math>
であるので、
<math>f_{f}=-\frac{\partial F}{\partial \dot{x}_{i}}</math>
ここでFは
<math>F=\frac{1}{2}\sum_{i,k}\alpha_{ik}\dot{x}_{i}\dot{x}_{k}</math>
と表わされ、レイリーの散逸関数という。
摩擦力をラグランジュ方程式に加えると、
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial x_{i}}-\frac{\partial F}{\partial \dot{x}_{i}}</math>
散逸関数によって系のエネルギーの散逸の度合いが分かる。すなわち、
<math>\frac{dE}{dt}&=&\frac{d}{dt}\left( \sum_{i}\dot{x}_{i}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}-L \right) = \sum_{i}\dot{x}_{i}\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial x_{i}} \right)\\
&=&-\sum_{i}\dot{x}_{i}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}_{i}}\\
&=&-2F</math>
系のエネルギーの変化する速さは散逸関数の２倍となる。
これまで扱ってきた運動には媒質の影響は無視されてきた。しかし現実には、媒質内で物体の速度を減少させるような抵抗が物体に及ぼされる。運動する物体のエネルギーは散逸してしまう。一般的には運動する物体の加速度は速度と座標だけでは記述することはできないのだ。
もし媒質内の散逸過程を特徴付ける振動数に比べてずっと小さい振動なら、
速度だけに依存する摩擦力が働くとみなして記述することができる。
摩擦力を速度のベキ展開したとき、２次以上の項を無視すると（例えばニュートン流体のようなものか）、摩擦力は
<math>f=-\alpha \dot{x}</math>
と書ける。<math>\alpha</math>は正の定数である。運動方程式は
<math>m\ddot{x}=-kx-\alpha\dot{x}</math>
となる。ここで、
<math>\frac{k}{m}=\omega_{0}^{2}, \frac{\alpha}{m}=2\lambda</math>
とおくと、
<math>\ddot{x}+2\lambda\dot{x}+\omega_{0}^{2}=0</math>
となる。<math>x=e^{rt}</math>とおくと、
<math>r^{2}+2\lambda r+\omega_{0}^{2}=0</math>
となり、運動方程式の一般解は
<math>x= c_{1} e^{-\lambda + \sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}}+c_{2} e^{-\lambda - \sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}}</math>
である。
<math>\lambda<\omega_{0}</math>のとき、rの二つの値は複素共役なので
<math>x=Re\{A\exp{-\lambda t-it\sqrt{\omega{2}_{0}-\lambda^{2}}}\}</math>
と表わされる。<math>A</math>は任意の複素定数である。これは
<math>x=ae^{-\lambda t}\cos(\omega t+\alpha),{ }\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}}</math>
とも書ける。これはいわゆる減衰振動である。
<math>\lambda\ll\omega_{0}</math>ならば、１周期後も振幅はほとんど変化しない。この場合、系の平均エネルギーの減衰は
<math>\bar{E}=E_{0}e^{-2\lambda t}</math>
で減少する。
<math>\lambda > \omega_{0}</math>のときrはどちらも負の実数である。この時の解は
<math>x=c_{1}e^{-(\lambda-\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}})t}+c_{2}e^{-(\lambda+\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}})t}</math>
となる。これは振動せずにつりあいの位置へ漸近的に近づくことを示している。このような運動を非周期的減衰という。
<math>\lambda=\omega_{0}</math>のとき、
<math>x=(c_{1}+c_{2}t)e^{-\lambda t}</math>となる。これは非周期的減衰の特別な場合である。
他自由度の系では一般化された摩擦力は
<math>f_{if}=-\sum_{k}\alpha_{ik}\dot{x}_{k}</math>
統計力学の方法を使うと
<math>\alpha_{ik}=\alpha{ki}</math>
であるので、
<math>f_{f}=-\frac{\partial F}{\partial \dot{x}_{i}}</math>
ここでFは
<math>F=\frac{1}{2}\sum_{i,k}\alpha_{ik}\dot{x}_{i}\dot{x}_{k}</math>
と表わされ、レイリーの散逸関数という。
摩擦力をラグランジュ方程式に加えると、
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial x_{i}}-\frac{\partial F}{\partial \dot{x}_{i}}</math>
散逸関数によって系のエネルギーの散逸の度合いが分かる。すなわち、
<math>\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \sum_{i}\dot{x}_{i}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}-L \right) = \sum_{i}\dot{x}_{i}\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial x_{i}} \right)\\
=-\sum_{i}\dot{x}_{i}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}_{i}}\\
=-2F</math>
系のエネルギーの変化する速さは散逸関数の２倍となる。
