§21 摩擦があるときの強制振動

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ここでは、周期的な強制力を与えた場合を調べる。 運動方程式は <math>\ddot{x}+2\lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{f}{m}\cos \gamma t</math> 右辺を複素数で書くと <math>\ddot{x}+2\lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{f}{m}e^{-i \gamma t}</math> 特殊解を<math>x=Be^{-i\gamma t}</math>と書くと、 <math>B=\frac{f}{m(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}-2i\lambda\gamma)}</math> ここで、<math>B=be^{-i\delta}</math>とおくと、 <math>b=\frac{f}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})^{2}+4\lambda^{2}\gamma^{2}}}</math> <math>\tan\delta = \frac{2\lambda\gamma}{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}</math> となる。 ここで、<math>Be^{-i\gamma t}=be^{-i(\gamma t+\delta)}</math>から実部を分離して運動方程式の特殊解が得られる。ここで<math>\omega_{0}>\lambda</math>の場合、[[§20 減衰振動]]より <math>x=ae^{-\lambda t}\cos(\omega t+\alpha)+b\cos(\gamma t+\delta)</math> 十分長い時間が経った後、第1項は消えて <math>x=b\cos(\gamma t+\delta)</math> この振幅bは振動数が<math>\gamma</math>が<math>\omega_{0}</math>に近づくにつれて増大するが、無限大になることは無い。振動の振幅は <math>\gamma=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\lambda^{2}}</math> という振動数で最大となる。 <math>\varepsilon</math>を微小量として<math>\gamma=\omega_{0}+\varepsilon</math>とおき、<math>\lambda\ll\omega_{0}</math>とすると <math> B=-\frac{f}{m((\gamma+\omega_{0})(\gamma-\omega_{0})-2i\lambda\gamma)}\approx-\frac{f}{m(2\omega_{0}\varepsilon-2i\lambda\gamma)}\\ =-\frac{f}{2m(\varepsilon+i\lambda)\omega_{0}} </math> あるいは <math>b=\frac{f}{2m\omega_{0}\sqrt{\varepsilon^{2}+\lambda^{2}}}</math> <math>\tan\delta=\frac{\lambda}{\varepsilon}</math> となる。 ==ちょっと省略 系の強制振動が、十分時間が経って落ち着いた後、系のエネルギーは一定にとどまる。このとき系は散逸されるエネルギーを絶えず吸収し続けることになる。単位時間に吸収される平均のエネルギーは <math>I(\gamma)=2\bar{F}</math> である。ここで<math>\bar{F}</math>は散逸関数の周期にわたる平均値である。一次元の運動に対して散逸関数は[[§20 減衰振動]]より<math>F=\alpha\dot{x}^{2}/2=\lambda m\dot{x}^{2}</math>であり、xに十分時間が経った場合を代入すると、 <math>F=\lambda m b^{2}\gamma^{2}\sin^{2}(\gamma t+\delta)</math> となるので、 <math>I(\lambda)=\lambda mb^{2}\gamma^{2}</math> 共鳴の近くでは <math>I(\varepsilon)=\frac{f^{2}}{4m}\frac{\lambda}{\varepsilon^{2}+\lambda^{2}}</math> となる。このように振動数に依存する吸収を分散的と呼ぶ。<math>I(\varepsilon)</math>が<math>\varepsilon=0</math>における極大値の半分になるときの<math>\varepsilon</math>を半値幅という。 この場合、半値幅は減衰率<math>\lambda</math>となる。 極大の高さは <math>I(0)=\frac{f^{2}}{4m\lambda}</math> となり、<math>\lambda<\math>に比例する。減衰率が小さくなるほど極大は鋭くなる。 共鳴曲線の面積は不変で、 <math>\int_{0}^{\infty}I(\gamma)d\gamma=\int_{-\omega_{0}}^{\infty}I(\varepsilon)d\varepsilon</math> により与えられる。<math>|\varepsilon|</math>より大きいところは重要でないから、 <math>\int_{-\infty}^{\infty}I(\varepsilon)d\varepsilon=\frac{f^{2}\lambda}{4m}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\varepsilon}{\varepsilon^{2}+\lambda^{2}}=\frac{\pi f^{2}}{4m}</math>
ここでは、周期的な強制力を与えた場合を調べる。 運動方程式は <math>\ddot{x}+2\lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{f}{m}\cos \gamma t</math> 右辺を複素数で書くと <math>\ddot{x}+2\lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{f}{m}e^{-i \gamma t}</math> 特殊解を<math>x=Be^{-i\gamma t}</math>と書くと、 <math>B=\frac{f}{m(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}-2i\lambda\gamma)}</math> ここで、<math>B=be^{-i\delta}</math>とおくと、 <math>b=\frac{f}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})^{2}+4\lambda^{2}\gamma^{2}}}</math> <math>\tan\delta = \frac{2\lambda\gamma}{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}</math> となる。 ここで、<math>Be^{-i\gamma t}=be^{-i(\gamma t+\delta)}</math>から実部を分離して運動方程式の特殊解が得られる。ここで<math>\omega_{0}>\lambda</math>の場合、[[§20 減衰振動]]より <math>x=ae^{-\lambda t}\cos(\omega t+\alpha)+b\cos(\gamma t+\delta)</math> 十分長い時間が経った後、第1項は消えて <math>x=b\cos(\gamma t+\delta)</math> この振幅bは振動数が<math>\gamma</math>が<math>\omega_{0}</math>に近づくにつれて増大するが、無限大になることは無い。振動の振幅は <math>\gamma=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\lambda^{2}}</math> という振動数で最大となる。 <math>\varepsilon</math>を微小量として<math>\gamma=\omega_{0}+\varepsilon</math>とおき、<math>\lambda\ll\omega_{0}</math>とすると <math> B=-\frac{f}{m((\gamma+\omega_{0})(\gamma-\omega_{0})-2i\lambda\gamma)}\approx-\frac{f}{m(2\omega_{0}\varepsilon-2i\lambda\gamma)}\\ =-\frac{f}{2m(\varepsilon+i\lambda)\omega_{0}} </math> あるいは <math>b=\frac{f}{2m\omega_{0}\sqrt{\varepsilon^{2}+\lambda^{2}}}</math> <math>\tan\delta=\frac{\lambda}{\varepsilon}</math> となる。 ==ちょっと省略 系の強制振動が、十分時間が経って落ち着いた後、系のエネルギーは一定にとどまる。このとき系は散逸されるエネルギーを絶えず吸収し続けることになる。単位時間に吸収される平均のエネルギーは <math>I(\gamma)=2\bar{F}</math> である。ここで<math>\bar{F}</math>は散逸関数の周期にわたる平均値である。一次元の運動に対して散逸関数は[[§20 減衰振動]]より<math>F=\alpha\dot{x}^{2}/2=\lambda m\dot{x}^{2}</math>であり、xに十分時間が経った場合を代入すると、 <math>F=\lambda m b^{2}\gamma^{2}\sin^{2}(\gamma t+\delta)</math> となるので、 <math>I(\lambda)=\lambda mb^{2}\gamma^{2}</math> 共鳴の近くでは <math>I(\varepsilon)=\frac{f^{2}}{4m}\frac{\lambda}{\varepsilon^{2}+\lambda^{2}}</math> となる。このように振動数に依存する吸収を分散的と呼ぶ。<math>I(\varepsilon)</math>が<math>\varepsilon=0</math>における極大値の半分になるときの<math>\varepsilon</math>を半値幅という。 この場合、半値幅は減衰率<math>\lambda</math>となる。 極大の高さは <math>I(0)=\frac{f^{2}}{4m\lambda}</math> となり、<math>\lambda</math>に比例する。減衰率が小さくなるほど極大は鋭くなる。 共鳴曲線の面積は不変で、 <math>\int_{0}^{\infty}I(\gamma)d\gamma=\int_{-\omega_{0}}^{\infty}I(\varepsilon)d\varepsilon</math> により与えられる。<math>|\varepsilon|</math>より大きいところは重要でないから、 <math>\int_{-\infty}^{\infty}I(\varepsilon)d\varepsilon=\frac{f^{2}\lambda}{4m}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\varepsilon}{\varepsilon^{2}+\lambda^{2}}=\frac{\pi f^{2}}{4m}</math>

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