§1 一般化座標


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質点

大きさの無視できる物体。無視が可能かどうかはそれぞれの問題の条件によって変わってくる。

位置ベクトル

質点の空間における位置を位置ベクトル\mathbf{r}で表す。なぜデカルト座標限定?

 \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}

N個の質点の位置を一意的に決定するのに必要な独立な量(自由度)は3N個。この量はデカルト座標である必要はない。系の位置をきめるのに十分な量を一般化座標、その導関数を一般化速度という。

力学的な状態は座標と速度のすべてを同時に与えるとき、完全に決定され、それ以後の運動は原理的には予言できる。

関数q(t)の2階微分方程式を積分することにより、力学系の運動の軌道を決定できる。

コメント

位置ベクトルはデカルト座標で定義する。しかし、系の自由度に関してはデカルト座標である必要はなく、一般化座標を導入できる。この議論の流れを理解していなかった。以下、本書ではrを用いるときはデカルト座標、qのときは一般化座標を特に説明することなく採用している。


ポイント

  • 一般化座標
  • 座標と速度から系の状態が完全に予言される