§2 最小作用の原理

最小作用の原理

力学系を特徴付けるある関数 $L(q,\dot{q},t)$ を与える。

時刻 $t=t_{1}$ および $t=t_{2}$ において

$S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\dot{q},t)dt$

が最小値を取るよう運動する。このように力学系の運動法則は最小作用の原理で与えられる。このとき $S$ を作用、 $L$ をラグランジアンという。

$q=q(t)$ が $S$ を最小にする関数であるとする。ここで時刻 $t=t_{1}$ から $t=t_{2}$ にわたって小さな関数（変分） $\delta q(t)$ を定義する。

これは条件 $\delta q(t_{1})=q(t_{1})=0$ を満たす。

作用の変分は

$\begin{align} \delta S &= \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q+\delta q, \dot{q}+\delta \dot{q},t)dt\,-\,\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q, \dot{q},t)dt \\ &= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[L(q,\dot{q},t)+\delta q\frac{\partial L}{\partial q}+\delta\dot{q}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}} + \mathcal{O}\left((\delta q)^2\right)+\mathcal{O}\left((\delta\dot{q})^2\right)\right]dt\,-\,\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q, \dot{q},t)dt \\ &=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}\right)dt \\ &=\left[\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right]_{t_1}^{t_2} \,+\, \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\delta q\, dt \\ \end{align}$