§5 質点系のラグランジアン


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2質点の間には相互作用があるが、そのほかの質点との相互作用を無視する、いわゆる孤立系について考える。 2点間の相互作用は、相互作用のないラグランジアンに座標の関数Uを加えることで表現される。

L=\sum_{a}\frac{m}{2}v_{a}^{2}-U(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2},\cdot\cdot\cdot)

ここで、右辺第1項目を運動エネルギーT、第2項目Uをポテンシャル・エネルギーという。

古典論において相互作用は一瞬にして伝わることを仮定している。もし、有限の速さで伝わるのであれば、違う慣性系同士でその速さは異なる。これは相対性原理に反する。

上のラグランジアンを見てみると時間を反転してもラグランジアンは不変であることがわかる。すなわちすべての運動は可逆的である。(ここで熱力学のことを考えてはならない。気付かないふりをしておけ。)

ラグランジアンをラグランジュ方程式に代入すると

m_{a}\frac{d\mathbf{v}_{a}}{dt}=-\nabla U

というニュートンの運動方程式が得られる。左辺は力であり、質点の位置にのみ依存する。

ポテンシャルエネルギーには定数の任意性があり、通常は相互の距離を無限大にしたときにゼロとなるようにする。

一般化座標におけるラグランジアンは

L=\frac{1}{2}\sum_{a}m_{a}(\dot{x}_{a}^{2}+\dot{y}_{a}^{2}+\dot{z}_{a}^{2})-U

x_{a}=f_{a}(q_{1},q_{2},\cdot\cdot\cdot,q_{s}), \dot{x}_{a}=\sum_{a}\frac{\partial f_{a}}{\partial q_{k}}\dot{q}_{k}

を代入することで、次の形となる。

後頼む。


ポイント

  • 孤立系におけるラグランジアン
  • 運動方程式の時間反転不変性
  • 保存力