§6 エネルギー


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系の状態を決める位置と速度は時間とともに変化する。これに対してこれらの量の関数であり、かつ一定の値を保つ量が存在する。初期条件だけで決まるこの関数を運動の積分という。

自由度sの孤立系の運動の積分の数は2s-1個である。これは頼む。

時間の一様性から孤立系のラグランジアンは時間に陽に依存しないため

\frac{dL}{dt}=\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\ddot{q}_{i}

この式はラグランジュ方程式より

・・・・・

これは孤立系の運動に際して不変であり、エネルギーという。 エネルギー保存則は外場が一定の場合にも成り立つ。このような系を保存系という。

孤立系のラグランジアンは

L=T(q,\dot{q})-U(q)

であり、運動エネルギーTは速度の2次関数である。同次関数についてのオイラーの定理より(って知らないんですけど・・・)

\sum_{i}\dot{q}_{i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}=\sum_{i}\dot{q}_{i}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}=2T

となり、エネルギーは

E=T(q,\dot{q})+U(q)

デカルト座標系では

\sum_{a}\frac{m_{a}}{2}v_{a}^{2}+U(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{1},\cdot\cdot\cdot)

系のエネルギーは速度の関数である運動エネルギーと位置の関数であるポテンシャル・エネルギーとの和となる。


コメント
  • オイラーの定理(Goldsteinより)

同次関数とは

f(q_1t,\,q_2t,\,\cdots) = t^nf(q_1,\,q_2,\,\cdots)

を満たす関数であり、この両辺を t に関して偏微分すると

\sum_{i}q_i\frac{\partial f(q_1t,\,q_2t,\,\cdots)}{\partial(q_it)} = nt^{n-1}f(q_1,\,q_2,\,\cdots)

となる。ここで t=1 とすれば

\sum_{i}q_i\frac{\partial f(q_1,\,q_2,\,\cdots)}{\partial q_i} = nf(q_1,\,q_2,\,\cdots)

となる。