§7 運動量


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次の保存則は空間の一様性と結びついている。

孤立系の力学的性質は系全体の任意の平行移動に対して不変である。 座標を無限小だけ変えた時、関数Lの変化は

\delta L=\sum_{a}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_{a}}\cdot \delta \mathbf{r}_{a}=\epsilon \cdot\sum_{a}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_{a}}

任意の\epsilonに対して

\sum_{a}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_{a}}=0

ラグランジュ方程式は

\sum_{a}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}_{a}}=\frac{d}{dt}\sum_{a}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}_{a}}=0

となるので、

\mathbf{P}=\sum_{a}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}_{a}}

が不変にとどまる。この\mathbf{P}を運動量という。運動量は質点の速度を用いて次の形になる。

\mathbf{P}=\sum_{a}m_{a}\mathbf{v}_{a}

外場がないときのみ、運動量ベクトル3成分の保存則はすべて成り立つ。しかし、デカルト座標のある特定の成分に依存していないポテンシャルエネルギーなら、対応する運動量は保存する。

ところで、本節の第1式の物理的意味も述べておく。\partial L/\parital \mathbf{r}_{a}=-\parital U/\parital \mathbf{r}_{a}より孤立系のすべての粒子に作用する力の総和は

\sum_{a}\mathbf{F}_{a}=0

2粒子系では作用・反作用の法則となる。

一般化座標においては、

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