§9 角運動量


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空間の等方性に起因する保存法則を導く。

等方性とは系の性質が任意の回転に対して不変であるということであり、系の無限小の回転に対してラグランジアンは不変である。

無限小回転ベクトル\delta \mathbf{\phi}を導入する。大きさは\delta \phiで方向は回転軸に一致する。座標原点から任意の質点に向かう位置ベクトルが系の回転に際してどれだけ変化するのかを求める。位置ベクトルの先端の変位は

図がほしいです!

|\delta \mathbf{r}|=r\sin \theta \cdot \delta \phi であり、このベクトルは

\delta \mathbf{r}=\delta\mathbf{\phi}\times \mathbf{r}

速度の増加分は

\delta \mathbf{v}=\delta\mathbf{\phi}\times \mathbf{v}

であり、これらをラグランジアンの変分に代入すると


\delta L =\sum_{a}\left( \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_{a}}\cdot \delta \mathbf{r}_{a} + \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}_{a}}\cdot \delta \mathbf{v}_{a} \right)\\
</p><p>=\sum_{a}\left( \mathbf{\dot{p}}_{a}\cdot(\delta\mathbf{\phi}\times\mathbf{r}_{a}+ \mathbf{p}_{a}\cdot(\delta\mathbf{\phi}\times\mathbf{v}_{a} ) \right)\\
</p><p>=\delta\mathbf{\phi}\cdot\sum_{a}(\mathbf{r}_{a}\times\mathbf{\dot{p}}_{a}+\mathbf{v}_{a}\times\mathbf{p}_{a})\\
</p><p>=\delta\mathbf{\phi}\cdot\frac{d}{dt}\sum_{a}(\mathbf{r}_{a}\times\mathbf{p}_{a})\\
=0

よって、任意の\delta \mathbf{\phi}で成り立つためには

\mathbf{M}=\sum_{a}(\mathbf{r}_{a}\times\mathbf{p}_{a})

が保存されることになる。これを系の角運動量という。

すべての孤立系はエネルギー・運動量(3成分)・角運動量(3成分)の七つの加法的な積分を持つ。 (これはどういう意味なんだろう?)

角運動量は座標原点の選び方に依存する。系全体が静止しているときだけ角運動量の値は原点の選び方によらない。また、二つの慣性系において角運動量は静止している系の角運動量と系全体としての運動に関する角運動量から成り立っている。