§10 １次元運動

自由度が１のいわゆる１次元運動について議論する。ラグランジアンの一般的な形は

$L=\frac{1}{2}a(q)\dot{q}^{2}-U(q)$

であり、デカルト座標系では、

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-U(x)$

である。エネルギー保存則

$\frac{m}{2}\dot{x}^{2}+U(x)=E$

から

$\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{2}{m}(E-U(x))}$

となり、これを変数分離で積分して

$t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}+C$

となる。運動エネルギーは正の量であるため、運動は $U(x)<E$ の領域内だけで行われる。

ポテンシャル・エネルギーと全エネルギーが等しくなる点を転回点といい、運動がその２点で境界づけられているなら、有界であるという。

一次元の有界な運動は振動であり、振動の周期は

$T(E)=\sqrt{2m}\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}$

で与えられる。

最終更新：2008年09月09日 23:25