§10 1次元運動


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自由度が1のいわゆる1次元運動について議論する。ラグランジアンの一般的な形は

L=\frac{1}{2}a(q)\dot{q}^{2}-U(q)

であり、デカルト座標系では、

L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-U(x)

である。エネルギー保存則

\frac{m}{2}\dot{x}^{2}+U(x)=E

から

\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{2}{m}(E-U(x))}

となり、これを変数分離で積分して

t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}+C

となる。運動エネルギーは正の量であるため、運動はU(x)<Eの領域内だけで行われる。

ポテンシャル・エネルギーと全エネルギーが等しくなる点を転回点といい、運動がその2点で境界づけられているなら、有界であるという。

一次元の有界な運動は振動であり、振動の周期は

T(E)=\sqrt{2m}\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}

で与えられる。