§16 ラザフォードの公式


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§15 粒子の散乱で得られた公式から荷電粒子の散乱を記述できる。U=\alpha /rとし、初等的な積分をすると

\phi_{0}=\arccos\frac{\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho}}{\sqrt{1+( \alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho ) ^{2}}}

したがって

\rho^{2}=\frac{\alpha^{2}}{mv_{\infty}^{4}}\tan^{2}\phi_{0}

ここで、§15 粒子の散乱最初の式より\phi_{0}=(\pi-\chi)/2とすると

\rho^{2}=\frac{\alpha^{2}}{mv_{\infty}^{4}}\cot^{2}\frac{\chi}{2}

これを§15 粒子の散乱の有効断面積の式に代入すると、

d\sigma=\pi(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}})^{2}\frac{\cos\frac{\chi}{2}}{\sin^{3}\frac{\chi}{2}}d\chi

d\sigma=(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^{2}})^{2}\frac{do}{\sin^{4}\frac{\chi}{2}}

これをラザフォードの公式という。有効断面積は斥力・引力によらない。

散乱粒子が衝突により失ったエネルギーに対する分布を求める。散乱される粒子m_{1}と散乱する粒子m_{2}について、後者の粒子の速さは重心系で、

v_{2}'=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{\infty}\sin\frac{\chi}{2}

m_{1}の失うエネルギーは

\epsilon=\frac{m_{2}}{2}v_{2}'^{2}=\frac{2m^{2}}{m_{2}}v_{\infty}^{2}\sin^{2}\frac{\chi}{2}

となる。有効断面積をエネルギーの関数としてあらわすと、

d\sigma=2\pi\frac{\alpha^{2}}{m_{2}v_{\infty}^{2}}\frac{d\epsilon}{\epsilon^{2}}