§17 1次元の自由振動


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自由度が1の系における微小振動を扱う。

系が安定なつり合いの位置にある時、ポテンシャルエネルギーU(q)は極小値をとる。その位置からずれると、もとへ戻そうとする力-dU/dqが生ずる。つり合いの位置の一般化座標をq_{0}とすると、つり合いの位置からのずれが小さいとき、

U(q)-U(q_{0})\simeq U'(q_{0})(q-q_{0})+\frac{U''(q_{0})}{2}(q-q_{0})^{2}\\
=\frac{k}{2}(q-q_{0})^{2}

となる。ここで、

x=q-q_{0}

とおく(デカルト座標とまぎらわしい)。そうすると(Ti○○氏風、ってまずければ削除しておいて)、

U(x)=\frac{k}{2}x^{2}

本書はややこしい気がするので、以下本当のデカルト座標限定で議論する。

一次元の微小振動を行う振動子のラグランジアンは

L=\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{k}{2}x^{2}

となり、オイラーラグランジュ方程式に代入すると、

\frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot{x}})-\frac{dL}{dx}
=m\ddot{x}+kx\\
=\dd x+\omega^{2}x\\
=0

となる。ここで、

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}

とおいた。これは、角振動数と呼ばれる。

上の微分方程式の一般解は

x=c_{1}\cos\omega t+c_{2}\sin\omega t\\
=a\cos(\omega t+\alpha)

である。ここで、三角関数の加法定理より、

a=\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}\tan\alpha=-\frac{c_{2}}{c_{1}}

である。

ここで、振幅と位相の説明ってなくても分かるよね?というわけで、系のエネルギーは

E=\frac{m}{2}(\dot{x}^{2}+\omega^{2}x^{2})\\
=\frac{1}{2}m\omega^{2}a^{2}

となり、エネルギーは振幅の2乗に比例する。

振動は三角関数でなく、指数関数を使って書くこともできる。その方が、演算の際に楽になるのだ。以下では、線形の計算しか行わないので、Reを省略して、後で実部をとる記述を採用する。