§19 多くの自由度をもつ系の振動


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s個の自由度の持つ系の自由振動について考える。 これまでは自由度1の系について扱ってきたが、多自由度としたとき、 運動方程式は自由度の数だけ作られる。 本節の最後には分子の振動についての考察が行われる。

一般化座標q_{i}(i=1,2,\cdot\cdot\cdot,s)の関数である 系のポテンシャルエネルギーUq_{i}=q_{i0} で極小になるとする。

x_{i}=q_{i}-q_{i0}

を導入し、ポテンシャルを2次の項まで展開すると、

U=\frac{1}{2}\sum_{i,k}k_{i,k}x_{i}x_{k}

となる。

運動エネルギーは

\frac{1}{2}\sum_{i,k}m_{ik} \dot{x}_{i}\dot{x}_{k}

自由振動を行う系のラグランジアンは

L=\frac{1}{2}\sum_{i,k}(m_{ik}\dot{x}_{i} \dot{x}_{k}
-k_{ik}x_{i}x_{k})

この時点で私は本書(19.7)まで入力し終えていた。 しかし、

エラーで消えてしまった

今後こういうことの無いよう頻繁に保存するつもりだ。

というわけでラグランジアンの完全微分は

dL=\frac{1}{2}\sum_{i,k}(m_{ik}\dot{x}_{i} d\dot{x}_{k}
+m_{ik}\dot{x}_{k} d\dot{x}_{i}-k_{ik}x_{i}dx_{k}-k_{ik}x_{k}dx_{i})

ここで係数m_{ik},k_{ik}の対称性より

dL=\sum_{i,k}(m_{ik}\dot{x}_{k} d\dot{x}_{i}
-k_{ik}x_{k}dx_{i})

が得られる。ここから

\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=\sum_{k}m_{ik}\dot{x}_{k}

\frac{\partial L}{\partial x_{i}}=-\sum_{k}k_{ik}\dot{x}_{k}

ラグランジュ方程式は

\sum_{k}m_{ik}\ddot{x}_{k}+\sum_{k}k_{ik}x_{k}=0

これはs個の線形同次微分方程式の組を表わす。

これを解くためにs個の未知関数を

x_{k}=A_{k}e^{-i\omega t}

とおくと、ラグランジュ方程式は

\sum_{k}(-\omega^{2}m_{ik}+k_{ik})A_{k}=0

となる。これがゼロ以外の異なる解をもつためには

|k_{ik}-\omega^{2}m_{ik}|=0

が成り立つ必要がある。この行列式を特性方程式という。

この式のs個の異なった正の実数解\omega_{\alpha}を系の固有振動数という。また、それらの固有振動数のいくつかが一致しているとき、縮退しているという。

以下はまた今度。 久しぶりで疲れた。

といっても、たいした内容じゃなかったので、次へ行こうと思う。