s個の自由度の持つ系の自由振動について考える。 これまでは自由度1の系について扱ってきたが、多自由度としたとき、 運動方程式は自由度の数だけ作られる。 本節の最後には分子の振動についての考察が行われる。
一般化座標の関数である 系のポテンシャルエネルギーは で極小になるとする。
を導入し、ポテンシャルを2次の項まで展開すると、
となる。
運動エネルギーは
自由振動を行う系のラグランジアンは
この時点で私は本書(19.7)まで入力し終えていた。 しかし、
今後こういうことの無いよう頻繁に保存するつもりだ。
というわけでラグランジアンの完全微分は
ここで係数の対称性より
が得られる。ここから
ラグランジュ方程式は
これはs個の線形同次微分方程式の組を表わす。
これを解くためにs個の未知関数を
とおくと、ラグランジュ方程式は
となる。これがゼロ以外の異なる解をもつためには
が成り立つ必要がある。この行列式を特性方程式という。
この式のs個の異なった正の実数解を系の固有振動数という。また、それらの固有振動数のいくつかが一致しているとき、縮退しているという。
以下はまた今度。 久しぶりで疲れた。
といっても、たいした内容じゃなかったので、次へ行こうと思う。