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本を持ってない人にも伝わるように変数の定義とかは必要なだけ書き写した方が回答が得られる可能性が高まりますよ.

柏,演習 場の量子論


例題1.2


\phi^*(t,\vec{x}) = \phi(t,\vec{x})
\Longleftrightarrow \sum_{n=-\infty}^\infty q_n^*(t) f_n^*(\vec{x}) = \sum_{n=-\infty}^\infty q_n(t) f_n(\vec{x})
=\sum_{n=-\infty}^\infty q_n^*(t) f_{-n}(\vec{x}) 左辺にヒント(2.9)を代入
=\sum_{m=\infty}^{-\infty} q_{-m}^*(t) f_m(\vec{x}) -n = mと変数変換
=\sum_{n=\infty}^{-\infty} q_{-n}^*(t) f_n(\vec{x}) mをnという名前に書き換える
=\sum_{n=-\infty}^{\infty} q_{-n}^*(t) f_n(\vec{x}) 和の値は上限と下限のどちらがΣの上に乗っても一緒

こうして項毎にf_n(\vec{x})の係数を比べると(2.8)が従う

無限和の項別比較の厳密性は今は考えない

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